Anhang 2 - Numerische Feldberechnung
1
Berechnung der magnetischen Flussdichte
1.1
Allgemeines
Die Magnetflussdichtewerte in der Umgebung stromdurchflossener Leiter können auch durch Feld-Simulation, z.B. FEM - Finite-Elemente-Methode, berechnet werden. Die Anwendung derartiger Simulationen erfordert einen übermäßig hohen Aufwand, Einarbeitung, deren Zeitaufwand die zur Messung erforderliche Zeit noch übersteigen kann.
Ein Problem der Anwendung der Feldsimulation ist die notwendige Überprüfung der simulierten Werte mit gemessenen Werten (zumindest an einzelnen Stellen), mit einer dann eventuell notwendigen Anpassung des Modells. Das führt zu einem erhöhten Aufwand.
Mit der FEM-Simulation lassen sich auch Flussdichtewerte an Stellen bestimmen, die den Feldmesssonden wegen deren geometrischer Abmessungen nicht zugänglich sind, z.B. nahe der Leiteroberfläche.
Für alle Berechnungsbeispiele wird in der Umgebung der stromführenden Leiter (Schweißkabel, Leiterschleife des Schweißfenster) die Permeabilität µr = 1 (Luft) angenommen. Betrachtet man die in der Umgebung unterschiedlicher Maschinen gemessenen Felder, so zeigt sich die Zulässigkeit dieser Annahme.
1.2
Schweißkabel
Die Schweißkabel werden näherungsweise als (unendlich lange) Doppelleitung aufgefasst (Bild 1). Dafür ergeben sich vereinfachte Abhängigkeiten der magnetischen Flussdichte vom Abstand.
Bild 1: Schweißkabel (Doppelleitung)
Für die Flussdichte in Abhängigkeit von der x-Achse in Höhe der Leiterebene (y = 0) ergibt sich für Bereiche außerhalb des Leitermaterials (außerhalb r0)
Für große Abstände x von den Schweißkabeln (x » a) vereinfacht sich die Gleichung zu
Für die Flussdichte in Abhängigkeit von der y-Achse in der Ebene mittig zwischen den Leitern (x = 0) ergibt sich:
und damit für große Abstände von den Schweißkabeln y » a
1.3
Nutzung des Katalogs von Flussdichteverteilungen
Im Anhang der Handlungsanleitung befindet sich ein Katalog von Flussdichteverteilungen. Dieser ist entnommen aus [2] und beinhaltet durch FEM-Simulation ermittelte und exemplarisch durch Messungen überprüfte Kurven der Verteilung der Magnetflussdichte entlang charakteristischer Achse: x-, y-, z-Achse jeweils mit dem Koordinatenursprung in der Mitte des Schweißfensters und an den Schweißelektroden (xe, ze, 45°e). Die Lage der Achsen kann Bild 2 entnommen werden.
Die im Katalog enthaltenen Kurven stellen die magnetische Flussdichte als B'-Werte, also bezogen auf 1 kA dar (Beispiel siehe Bild 3). Diese B'-Werte werden entsprechend der Größe des Schweißfensters abgelesen. Durch Multiplikation der B'-Werte mit dem Werten des Schweißstromes (Amplitude, Betrag der Welligkeit usw.) können für jeden Punkt auf den angegebenen Achsen die entsprechenden Flussdichtewerte über die Beziehung
B = B' · I
bestimmt werden.
Bild 2: Gemessene Magnetflussdichte in der Umgebung einer Schweißmaschine (Größe des Schweißfensters 345 x 445 mm), horizontale Ebene in Höhe der Mitte des Schweißfensters, eingezeichnete Pfeile: im Katalog der Flussdichtewerte enthaltene Achsen
Betrachtet man real gemessene Flussdichtewerte in der Umgebung von Widerstandsschweißeinrichtungen (Bild 2), so zeigt sich, dass die Iso-Flussdichte-Linien (Linien gleicher Flussdichte) kreis- bzw. ellipsenähnliche Formen um das Schweißfenster herum annehmen. Aus diesem Grund kann man, erforderlichenfalls unter Zuhilfenahme einer Skizze, bereits mit Hilfe der im Katalog enthaltenen Flussdichtewerte abschätzen, Zwischenwerte lassen sich interpolieren.
Bild 3: Beispiele für die im Anhang vorliegenden Ergebnisse der FEM-Simulation
Beispiel der Anwendung des Kataloges der Flussdichteverteilungen - Ermittlung einer bestimmten Iso-Flussdichtelinie:
Zugrundegelegt wird die in Bild 2 dargestellte Flussdichteverteilung. Gesucht sei die Iso-Flussdichtelinie bei 0,1 mT/kA. Ausgehend von der Fenstergröße von 345 x 445 mm (Ausladung x Höhe) werden aus den Diagrammen für die Fenstergrößen 300 x 400 und 400 x 500 mm für die gesuchte Flussdichte B' die Abstände ausgehend vom jeweiligen Koordinatenursprung abgelesen. Die Zwischenwerte werden entsprechend der Fenstergröße näherungsweise linear interpoliert. Allerdings ist damit ein Fehler enthalten im Vergleich zur Abstandsabhängigkeit proportional 1/r2 ... 1/r3. Die auf den von der Fenstermitte bzw. den Elektroden ausgehenden Achsen ermittelten Punkte werden miteinander verbunden. Dabei genügen abschnittsweise kreisähnliche Gebilde (Bild 4).
Bild 4: Flussdichteverteilung aus Bild 2, blau eingezeichnet die auf Grundlage des Flussdichtekataloges ermittelte Iso-Flussdichtelinie für B' = 0,1 mT/kA
1.4
Gültigkeit simulierter und gemessener Werte
Die durch Berechnung bzw. Feldsimulation ermittelten Werte der magnetischen Flussdichte sind durch Messungen zu überprüfen. Dabei kann man von einem stetigen Verlauf der Felder ausgehen. Zur Überprüfung werden einige der berechneten Flussdichtewerte nachgemessen. Wegen der insbesondere in Leiternähe stark inhomogenen Felder wird es immer so sein, dass die Ergebnisse von numerischer Feldberechnung und Feldsimulation höher als die gemessenen liegen. Ursache dieser Unterschiede zwischen Messung und Berechnung ist die integrierende Wirkung der Messspule über die von der Messspule aufgespannte Fläche. Eine Abweichung von 30 bis 40 % kann dabei akzeptiert werden. Dieser Wert klingt zwar sehr hoch, führt aber angesichts der starken Inhomogenität der Felder und der starken Abnahme der Flussdichtewerte dennoch zu vergleichbaren Ergebnissen, was die Bestimmung von evtl. einzuhaltenden Abständen angeht.
Insbesondere wenn die Abschätzung der Flussdichtewerte ergibt, dass die Werte am Arbeitsplatz möglicherweise die zulässigen Werte überschreiten, sollte eine Messung erfolgen. Dagegen kann bei Unterschreitung der zulässigen Werte durch die berechneten um den Faktor 10 auf Messungen verzichtet werden.
Für das Beispiel einer stationären Widerstandsschweißmaschine sind die Ergebnisse von numerischer Berechnung und Feldsimulation gemessenen Werten der magnetischen Flussdichte gegenübergestellt. In Bild 5 ist zu erkennen, dass Berechnung und Simulation zu denselben Ergebnissen führen und diese gegenüber den gemessenen Werten höher liegen.
Bild 5: Stationäre Widerstandsschweißmaschine, Vergleich von Berechnung und Messung
Zur Absicherung von berechneten oder simulierten bzw. mit Hilfe des Kataloges der Flussdichteverteilungen ermittelten Flussdichtewerten sollten Messungen an einigen Punkten in der Umgebung der Widerstandsschweißeinrichtung durchgeführt werden. Bei Messungen entlang einer durch den Flussdichtekatalog vorgegebenen Achse sollen diese Messwerte einer Abhängigkeit wie die darin enthaltenen Verläufe folgen.
1.5
Leiterschleife der Schweißzange
Die numerische Berechnung beruht darauf, dass durch Integration aller in der Umgebung eines Punktes P (Bild 6) auftretenden Magnetfelder das am Punkt P wirksame Magnetfeld bestimmt wird. Geht man von einem in einem Leiter fließenden Strom I aus, so kann mittels des Gesetzes von Biot-Savart
die Flussdichte an jedem Ort in der Umgebung des Leiters bestimmt werden. Die Anwendung soll an einer rechteckigen Leiterschleife (Bild 6) als Näherung der Form eines rechteckähnlichen Schweißfensters erläutert werden. Zur Vereinfachung erfolgt eine Betrachtung als geschlossene Schleife, die Kabel zur Leiterschleife werden nicht betrachtet. In dieser Leiterschleife fließt der Strom I. Aus der für allgemeine Fälle geltenden vorstehend genannte Formel lassen sich für spezielle Fälle Formeln ableiten.
Bild 6: Bestimmung der magnetischen Flussdichte nach Biot-Savart
Für die Flussdichte entlang der Achse x ergibt sich
mit
Für die Flussdichte entlang der Achse z ergibt sich
Die Vertauschung der Parameter a und b in den Formeln für die Magnetflussdichte in der x-Achse ergibt die Formel für die Magnetflussdichte in der y-Achse.
Die angegebenen Formeln gehen von der Annahme eines linienhaften Leiters mit der Leiterdicke 0 aus. Mit Ausnahme der Bereiche in unmittelbarer Nähe des Leiters (innerhalb der ersten cm Abstand) liefert die Berechnung die richtigen Werte.
Mit den genannten Formeln lassen sich bereits charakteristische Werte bestimmen, die zur Beurteilung der Feldexposition genutzt werden können. Berücksichtigt man, dass die Darstellung real gemessener Werte der Magnetflussdichte in Form von Iso-Flussdichte-Linien zu ellipsenähnlichen Formen führt, so kann man mit den genannten Formeln die Flussdichteverhältnisse in den das Schweißfenster mittig schneidenden Ebenen abschätzen.
2
Einfaches PC-Programm zur Flussdichteberechnung
Zur Berechnung der magnetischen Flussdichte aus dem gemessenen Strom kann zur ersten Abschätzung das nachfolgende Programm unterstützend eingesetzt werden. Das als Berechnungsgrundlage dienende Gesetz von Biot-Savart wird so eingesetzt, dass für jeden Punkt P im Raum ein Flussdichtewert berechnet werden kann (Bild 7). Die Übereinstimmung der berechneten Werte mit gemessenen natürlichen Werten wurde unter Beachtung sehr geringer Toleranzen von unabhängigen Instituten bestätigt.
Bild 7: Ansicht des Programms zur Flussdichteberechnung
Auf Grund programmierbedingter Vorgaben muss bei der Eingabe der Daten in den Bereichen "Daten der Rechteckschleife" und "Koordinaten des Messpunktes P" das Komma als Punkt eingegeben werden.
3
Berechnung feldinduzierter Ströme und Stromdichten
Numerische Feldberechnungsverfahren unter Einbeziehung realitätsnaher Simulationsmodelle des menschlichen Körpers einschließlich der felderzeugenden Werkzeuge und Anlagenteile können die Möglichkeiten der Beurteilung des Gesundheitsrisikos an EMF-Arbeitsplätzen erheblich verbessern. Es lassen sich damit bei vertretbarem Simulationsaufwand sowohl die äußeren Feldbelastungen an Arbeitsplätzen als auch die quantitativen Zusammenhange zwischen äußeren elektromagnetischen Feldverteilungen und im Körper induzierten Feldern bestimmen. Biologisch wirksame Größen wie Körperstromdichte und SAR (Spezifische Absorptions Rate) können berechnet und mit den Basis(grenz)werten verglichen werden.
Die wichtigsten numerischen Verfahren sind:
Finite-Differenzen im Zeitbereich (FDTD)
Methode der Finiten Elemente (FEM)
Momentenmethode (MoM)
und hybride Verfahren.
Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich in der Diskretisierung der Körpermodelle, ihrer Flexibilität, den Berechnungsschritten und ihrem Aufwand bezogen auf die Anzahl der Elemente.
Auf Grund der Anforderungen an die räumliche Auflösung der Körpermodelle, die sich aus den Festlegungen der volumen- und flächenelementbezogenen Basiswerte ergeben, hat sich die Methode der Finiten Differenzen im Zeitbereich als ein unter praktischen Gesichtspunkten gut geeignetes Verfahren erwiesen. Mit dieser Methode sind praxisrelevante Simulationen bereits auf PC-Ebene möglich. Hinzu kommen eine anwenderfreundliche unkomplizierte Netzgenerierung sowie eine einfache Orientierung innerhalb der Simulationsmodelle auf Grund des orthogonalen Gitters. Zu beachten ist, dass das FDTD-Verfahren eine direkte Berechnung niederfrequenter elektromagnetischer Felder innerhalb der Körpermodelle nicht zulässt. Die dazu notwendigen langen Simulationslaufzeiten lassen eine sinnvolle Auswertung innerhalb der Modelle nicht mehr zu. Das Problem lässt sich jedoch über Niederfrequenzalgorithmen lösen. Zur Berücksichtigung der dielektrischen Eigenschaften der menschlichen Gewebetypen steht ein international anerkanntes parametrisches Modell (GABRIEL et al., 1996) zur Verfügung, dass in die Oberfläche der Simulationssoftware integriert werden kann und eine direkte Übernahme der Gewebeparameter in die Simulation erlaubt.
Die Berechnungssoftware sollte neben einer schnellen Übersicht über die lokale Verteilung der Maxima von Stromdichte oder SAR immer auch eine gewebespezifische Auswertung ermöglichen, d.h. in welchem Gewebe diese Maxima auftreten.